Η προέλευση των μαθηματικών – Μια συνοπτική μελέτη βασισμένη στον ιστορικό υλισμό

Γρά­φει η Άννε­κε Ιωαν­νά­του //

Στο σχο­λείο όλοι κάνου­με μαθη­μα­τι­κά. Σε άλλους αρέ­σει, άλλοι βασα­νί­ζο­νται, άλλοι πάλι αδια­φο­ρούν. Όμως, από πού προ­έρ­χο­νται τα μαθη­μα­τι­κά; Ποιες συν­θή­κες και πότε γέν­νη­σαν την ανά­γκη του ανθρώ­που να ανα­πτύ­ξει τα μαθη­μα­τι­κά ξεκι­νώ­ντας από το πιο πρω­τό­γο­νο επί­πε­δο και προ­χω­ρώ­ντας φτά­νο­ντας στις πιο σύν­θε­τες αφη­ρη­μέ­νες μορ­φές; Και στην περί­πτω­ση των μαθη­μα­τι­κών όπως και όλων των επι­στη­μών κάποιες υλι­κές ανά­γκες έδω­σαν το εναρ­κτή­ριο λάκτι­σμα για μια μακρό­χρο­νη εξέ­λι­ξη από τα κατώ­τε­ρα σε όλο και ανώ­τε­ρα επί­πε­δα σκέ­ψης. Η ιστο­ρία των μαθη­μα­τι­κών δεν είναι ευρύ­τε­ρα γνω­στή. Αν ξέρου­με κάτι, συνή­θως είναι ότι στην αρχαία Μέση Ανα­το­λή και στην αρχαία Ελλά­δα ανα­πτύ­χθη­καν τα μαθη­μα­τι­κά σε ψηλό βαθ­μό σαν αφη­ρη­μέ­νη επι­στή­μη. Για όσους θέλουν να μάθουν συνο­πτι­κά αυτή τη μαγευ­τι­κή ιστο­ρία υπάρ­χει ένα πολύ καλό και προ­σι­τά γραμ­μέ­νο βιβλίο του Ολλαν­δού μαρ­ξι­στή Dirk J. Struik (1894–2000!) με τίτλο «Συνο­πτι­κή Ιστο­ρία των Μαθη­μα­τι­κών» από τις εκδό­σεις «Δαίδαλος‑Ι.Ζαχαρόπουλος» μετα­φρα­σμέ­νο από την Άννα Φερε­ντί­νου-Νικο­λα­κο­πού­λου. Πρό­κει­ται για ένα βιβλίο που δεν απαι­τεί εξει­δι­κευ­μέ­νες γνώ­σεις για να διαβαστεί.

Οι αιτί­ες σαν βάση ανάλυσης

Ο συγ­γρα­φέ­ας ξεκι­νά­ει από τα κοι­νω­νι­κά-οικο­νο­μι­κά αίτια των φαι­νο­μέ­νων. Δηλα­δή τα φαι­νό­με­να δεν γεν­νιό­νται έτσι απλά στο κεφά­λι κάποιων μεγα­λο­φυ­ϊ­ών, αλλά απο­τε­λούν μια μακρό­χρο­νη πορεία από τις πρα­κτι­κές ανά­γκες προς πιο σύν­θε­τες θεω­ρη­τι­κές αφη­ρη­μέ­νες μορ­φές. Η πρώ­τη έκδο­ση του βιβλί­ου έγι­νε το 1948 και στον πρό­λο­γο μπο­ρού­με να δια­βά­σου­με την ιστο­ρία των εκδό­σε­ων του πονή­μα­τος αυτού του Struik. Στην παλαιο­λι­θι­κή επο­χή λοι­πόν η ανθρω­πό­τη­τα ξεκί­νη­σε τα πρώ­τα αριθ­μη­τι­κά σκιρ­τή­μα­τα, όπως μπο­ρού­με να δια­βά­σου­με στο πρώ­το κεφά­λαιο με τίτλο «Οι απαρ­χές». Τότε ανα­πτύ­χθη­κε η ανά­γκη του νεο­λι­θι­κού ανθρώ­που να υπο­λο­γί­ζει απο­στά­σεις και χωρη­τι­κό­τη­τες στις πιο απλές μορ­φές τους. Στο δεύ­τε­ρο κεφά­λαιο «Η αρχαία Ανα­το­λή» ο συγ­γρα­φέ­ας ανα­πτύσ­σει με πολ­λά παρα­δείγ­μα­τα την εξέ­λι­ξη των μαθη­μα­τι­κών στην Αίγυ­πτο, τη Μεσο­πο­τα­μία, τη Βαβυ­λω­νία κλπ και πώς η βασι­κή ώθη­ση της εξέ­λι­ξης αυτής ήταν οι πρα­κτι­κές οικο­νο­μι­κές-παρα­γω­γι­κές-κοι­νω­νι­κές ανά­γκες: «Σε όλα τα ανα­το­λι­κά μαθη­μα­τι­κά, δεν βρί­σκου­με που­θε­νά να έχει γίνει από­πει­ρα να δοθεί αυτό που ονο­μά­ζου­με από­δει­ξη. Δεν προ­βάλ­λα­νε καμιά επι­χει­ρη­μα­το­λο­γία, παρά μόνο δίνα­νε εντο­λές εφαρ­μο­γής ορι­σμέ­νων κανό­νων: “Κάμε έτσι, κάμε αυτό». Αγνο­ού­με με ποιόν τρό­πο έβρι­σκαν τα θεω­ρή­μα­τα. Για παρά­δειγ­μα, πώς φτά­σαν οι Βαβυ­λώ­νιοι στο θεώ­ρη­μα του Πυθα­γό­ρα; Έχουν γίνει αρκε­τές προ­σπά­θειες για να εξη­γη­θεί ο τρό­πος με τον οποίο οι Αιγύ­πτιοι και οι Βαβυ­λώ­νιοι πορί­ζο­νταν τα εξα­γό­με­νά τους. Όλες όμως οι ερμη­νεί­ες που έχουν δοθεί είναι υπο­θε­τι­κής φύσης. Ολό­κλη­ρος ο ανα­το­λι­κός τρό­πος σκέ­ψης φαί­νε­ται εξαρ­χής παρά­ξε­νος και διό­λου ικα­νο­ποι­η­τι­κός γι’ αυτούς που έχουν εκπαι­δευ­τεί με την αυστη­ρά δομη­μέ­νη συλ­λο­γι­στι­κή του Ευκλεί­δη. Αλλ’ αυτό το παρα­ξέ­νε­μα δεν διαρ­κεί, όταν συνει­δη­το­ποι­ή­σου­με πως τα περισ­σό­τε­ρα μαθη­μα­τι­κά που διδά­σκο­νται για τους τωρι­νούς μηχα­νι­κούς και τεχνι­κούς είναι ακό­μα του είδους «κάμε έτσι, κάμε αυτό», δίχως να κατα­βάλ­λε­ται μεγά­λη προ­σπά­θεια για αυστη­ρή από­δει­ξη. Σε πολ­λά σχο­λεία μέσης εκπαί­δευ­σης, η άλγε­βρα διδά­σκε­ται μάλ­λον σαν ένα σύνο­λο κανό­νων παρά ως μια απα­γω­γι­κή επι­στή­μη. Τα ανα­το­λι­κά μαθη­μα­τι­κά δεν κατά­φε­ραν ποτέ, όπως φαί­νε­ται, να χει­ρα­φε­τη­θούν από τη χιλιό­χρο­νη επί­δρα­ση των προ­βλη­μά­των τεχνο­λο­γί­ας και διοί­κη­σης, για τα οποία είχαν επι­νοη­θεί» (σελ. 59/60).

Από το «πώς;» στο «για­τί;»

Στο τρί­το κεφά­λαιο ο συγ­γρα­φέ­ας πραγ­μα­τεύ­ε­ται την αρχαία Ελλά­δα: «…ίσως γύρω στο 900 π.Χ. οι Χετ­ταί­οι καθώς και η μινω­ϊ­κή αυτο­κρα­το­ρία είχαν εξα­φα­νι­στεί, η δύνα­μη της Αιγύ­πτου και της Βαβυ­λω­νί­ας είχε σημα­ντι­κά περιο­ρι­στεί, και νέοι λαοί εμφα­νί­στη­καν στο ιστο­ρι­κό προ­σκή­νιο. Οι πιο εξέ­χο­ντες ήσαν οι Εβραί­οι, οι Ασσύ­ριοι, οι Φοί­νι­κες και οι Έλλη­νες. Η αντι­κα­τά­στα­ση του χαλ­κού από τον σίδη­ρο προ­ξέ­νη­σε μετα­βο­λές, που δεν περιο­ρί­στη­καν μονά­χα στις μεθό­δους διε­ξα­γω­γής του πολέ­μου. Τα εργα­λεία παρα­γω­γής έγι­ναν φτη­νό­τε­ρα, με απο­τέ­λε­σμα ν’ αυξη­θεί το κοι­νω­νι­κό πλε­ό­να­σμα, να τονω­θεί το εμπό­ριο και να δοθεί έτσι στον απλό λαό η δυνα­τό­τη­τα μιας ευρύ­τε­ρης συμ­με­το­χής σε ζητή­μα­τα οικο­νο­μί­ας και πιο ενερ­γής ανά­μει­ξης στο δημό­σιο βίο. Το γεγο­νός αυτό αντι­κα­το­πτρί­στη­κε σε δύο μεγά­λες και­νο­το­μί­ες: την αντι­κα­τά­στα­ση της άβο­λης γρα­φής της αρχαί­ας Ανα­το­λής με το ευκο­λο­μά­θη­το αλφά­βη­το και την εισα­γω­γή νομι­σμα­τι­κού χρή­μα­τος, που με τη σει­ρά του συνέ­βα­λε στην άνθη­ση του εμπο­ρί­ου. Είχε φτά­σει ο και­ρός όπου και η πνευ­μα­τι­κή καλ­λιέρ­γεια δεν μπο­ρού­σε πια να παρα­μέ­νει προ­νό­μιο απο­κλει­στι­κό μιας ιθύ­νου­σας τάξης στην Ανα­το­λή» (σελ. 67/68). Κατα­λα­βαί­νου­με λοι­πόν, ότι τα θεμέ­λια των σύγ­χρο­νων μαθη­μα­τι­κών δημιουρ­γή­θη­καν κάτω από συγκε­κρι­μέ­νες υλι­κές προ­ϋ­πο­θέ­σεις που απαι­τού­σαν μια άλλη προ­σέγ­γι­ση ή με τα λόγια του συγ­γρα­φέα «Τα σύγ­χρο­να μαθη­μα­τι­κά γεν­νή­θη­καν μέσα στην ατμό­σφαι­ρα του ιωνι­κού ορθο­λο­γι­σμού, τα μαθη­μα­τι­κά που δεν θέτα­νε μόνο το ερώ­τη­μα «πώς;» της Ανα­το­λής, αλλά και το σύγ­χρο­νο επι­στη­μο­νι­κό ερώ­τη­μα του «για­τί;» (σελ. 69), τονί­ζο­ντας ότι οι Έλλη­νες έμπο­ροι με τα ταξί­δια τους είχαν χωρίς αμφι­βο­λία γνω­ρί­σει τα ανα­το­λι­κά μαθη­μα­τι­κά και δεν άργη­σαν να κατα­λά­βουν ότι οι ανα­το­λι­κοί λαοί δεν είχαν κάνει το βήμα προς τον ορθο­λο­γι­σμό του «για­τί το ισο­σκε­λές τρί­γω­νο έχει δύο ίσες γωνί­ες;» και άλλα παρό­μοια, ενώ οι πρώ­τες ελλη­νι­κές ενα­σχο­λή­σεις έψα­χναν να ερμη­νεύ­σουν τη θέση του ανθρώ­που στον κόσμο σύμ­φω­να με ένα ορθο­λο­γι­κό σχή­μα για να ταχτο­ποι­η­θούν οι ιδέ­ες σε λογι­κές δια­δο­χές, να βρε­θεί μια τάξη στο χάος (σελ. 69/70). Ωστό­σο, ποτέ δεν στα­μά­τη­σαν οι αλλη­λο­ε­πι­δρά­σεις Ανα­το­λής και Δύσης, όπως απο­δεί­χνει ο συγ­γρα­φέ­ας στο τέταρ­το κεφά­λαιο. Η επι­στή­μη στην Αλε­ξάν­δρεια ήταν απο­κα­λυ­πτι­κή για τις ελλη­νι­κές και τις ανα­το­λι­κές επι­δρά­σεις, ενώ η Ινδία και η Κων­στα­ντι­νού­πο­λη ήταν σημα­ντι­κοί τόποι συνά­ντη­σης Ανα­το­λής και Δύσης. Η όσμω­ση πάντα υπήρ­χε και δεν στα­μά­τη­σε ποτέ να υπάρ­χει παρ’ όλες τις προ­σπά­θειες κάποιων να βλέ­πουν «ρωγ­μή».

Η πορεία προς Δυσμάς

Προ­χω­ρώ­ντας όλο και πιο δυτι­κά ο ανα­γνώ­στης παρα­κο­λου­θεί το συγ­γρα­φέα στο δια­λε­κτι­κό του ταξί­δι στην ιστο­ρία των μαθη­μα­τι­κών μπαί­νο­ντας με το πέμ­πτο κεφά­λαιο στις απαρ­χές στη Δυτι­κή Ευρώ­πη. Η επέ­κτα­ση του εμπο­ρί­ου μεγά­λω­σε το ενδια­φέ­ρον για τα μαθη­μα­τι­κά. Δηλα­δή η μαθη­μα­τι­κή πρό­ο­δος περ­νού­σε από τις οικο­νο­μι­κά ανα­πτυσ­σό­με­νες πόλεις κάτω από την άμε­ση επιρ­ροή του εμπο­ρί­ου, της ναυ­τι­λί­ας, της αστρο­νο­μί­ας και της χωρο­με­τρί­ας (σελ. 142). Το εμπό­ριο έπαι­ξε τερά­στιο ρόλο στην ιστο­ρία στη­ρι­ζό­με­νο στην ανά­πτυ­ξη της τεχνο­λο­γί­ας, των όλο και βελ­τιω­μέ­νων μέσων παρα­γω­γής. Είδα­με στην αρχαία Ελλά­δα τη δυνα­μι­κή ανά­πτυ­ξη του εμπο­ρί­ου λόγω της βελ­τί­ω­σης της τεχνο­λο­γί­ας στην Επο­χή του Σιδή­ρου. Τότε υπήρ­ξαν τα θαλασ­σι­νά ταξί­δια της τάξης των εμπό­ρων με τις γεω­γρα­φι­κές ανα­κα­λύ­ψεις που –τηρου­μέ­νων των ανα­λο­γιών – μόνο με την επέ­κτα­ση των Ευρω­παί­ων από το 16ο και 17ο αιώ­να (ρόλος της ανά­πτυ­ξης και γρή­γο­ρης βελ­τί­ω­σης των μηχα­νών για την ανά­πτυ­ξη των μαθη­μα­τι­κών) μπο­ρούν να συγκρι­θούν, όταν οι γεω­γρα­φι­κές ανα­κα­λύ­ψεις έφτα­σαν στο ζενίθ τους. Επο­μέ­νως, παρό­μοιες ανά­γκες επι­στη­μο­νι­κών ανα­κα­λύ­ψε­ων δημιουρ­γή­θη­καν οι οποί­ες στη Νέα Επο­χή με την άνο­δο του καπι­τα­λι­σμού θα έπαιρ­ναν πια πρω­τό­γνω­ρες δια­στά­σεις απαλ­λαγ­μέ­νο ως σύστη­μα από τον κλοιό της δου­λο­κτη­τι­κής κοι­νω­νί­ας και της μεσαιω­νι­κής δου­λο­πα­ροι­κί­ας. Το γεγο­νός ότι σε πολ­λές αποι­κί­ες των Ευρω­παί­ων ξανα­μπή­κε η δου­λεία σαν τρό­πος παρα­γω­γής κατά μεγά­λα δια­στή­μα­τα εναλ­λασ­σό­με­νη με τη μισθω­τή εργα­σία, με το εκτε­νέ­στα­το εμπό­ριο σκλά­βων κυρί­ως από την Αφρι­κή, δεν σημαί­νει ότι η δου­λεία ήταν επί καπι­τα­λι­σμού η κύρια σχέ­ση εργα­σί­ας, όπως στην Αρχαιό­τη­τα. Οι ως άνω ανά­γκες ανα­ζω­πύ­ρω­σαν το ενδια­φέ­ρον για τα μαθη­μα­τι­κά. Ειδι­κά κεφά­λαια στη Συνο­πτι­κή Ιστο­ρία των Μαθη­μα­τι­κών του Dirk Struik αφιε­ρώ­νο­νται στον 17ο (υπο­λο­γι­σμοί των εμπο­ρι­κών τάξε­ων, παρα­γω­γι­κή χρη­σι­μο­ποί­η­ση και σημα­ντι­κή βελ­τί­ω­ση των μηχα­νών), τον 18ο (ανά­πτυ­ξη απει­ρο­στι­κού λογι­σμού και στις εφαρ­μο­γές του στη μηχα­νι­κή) και τον 19ο αιώ­να (με τη Γαλ­λι­κή Επα­νά­στα­ση και τη ναπο­λε­ό­ντειο περί­ο­δο να δημιουρ­γούν πολύ ευνοϊ­κές συν­θή­κες για την περαι­τέ­ρω ανά­πτυ­ξη των μαθη­μα­τι­κών). Λάθος θα ήταν να θεω­ρού­με τα δυτι­κά μαθη­μα­τι­κά μια αντι­γρα­φή των αρχαί­ων μαθη­μα­τι­κών, όπως προ­κύ­πτει από το εξαι­ρε­τι­κά ενδια­φέ­ρον αυτό βιβλίο του Dirk Struik. Απλώς κάποιες ομοιό­τη­τες στην κοι­νω­νι­κο­οι­κο­νο­μι­κή ανά­πτυ­ξη από ένα σημείο και πέρα κατέ­στη­σαν χρή­σι­μες τις βασι­κές πηγές για την περαι­τέ­ρω εξέ­λι­ξη των μαθη­μα­τι­κών στις και­νούρ­γιες συνθήκες.